lib/expl.c

   1 /* Exponential function.
   2    Copyright (C) 2011-2012 Free Software Foundation, Inc.
   3
   4    This program is free software: you can redistribute it and/or modify
   5    it under the terms of the GNU General Public License as published by
   6    the Free Software Foundation; either version 3 of the License, or
   7    (at your option) any later version.
   8
   9    This program is distributed in the hope that it will be useful,
  10    but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  11    MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  12    GNU General Public License for more details.
  13
  14    You should have received a copy of the GNU General Public License
  15    along with this program.  If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.  */
  16
  17 #include <config.h>
  18
  19 /* Specification.  */
  20 #include <math.h>
  21
  22 #if HAVE_SAME_LONG_DOUBLE_AS_DOUBLE
  23
  24 long double
  25 expl (long double x)
  26 {
  27   return exp (x);
  28 }
  29
  30 #else
  31
  32 # include <float.h>
  33
  34 /* A value slightly larger than log(2).  */
  35 #define LOG2_PLUS_EPSILON 0.6931471805599454L
  36
  37 /* Best possible approximation of log(2) as a 'long double'.  */
  38 #define LOG2 0.693147180559945309417232121458176568075L
  39
  40 /* Best possible approximation of 1/log(2) as a 'long double'.  */
  41 #define LOG2_INVERSE 1.44269504088896340735992468100189213743L
  42
  43 /* Best possible approximation of log(2)/256 as a 'long double'.  */
  44 #define LOG2_BY_256 0.00270760617406228636491106297444600221904L
  45
  46 /* Best possible approximation of 256/log(2) as a 'long double'.  */
  47 #define LOG2_BY_256_INVERSE 369.329930467574632284140718336484387181L
  48
  49 /* The upper 32 bits of log(2)/256.  */
  50 #define LOG2_BY_256_HI_PART 0.0027076061733168899081647396087646484375L
  51 /* log(2)/256 - LOG2_HI_PART.  */
  52 #define LOG2_BY_256_LO_PART \
  53   0.000000000000745396456746323365681353781544922399845L
  54
  55 long double
  56 expl (long double x)
  57 {
  58   if (isnanl (x))
  59     return x;
  60
  61   if (x >= (long double) LDBL_MAX_EXP * LOG2_PLUS_EPSILON)
  62     /* x > LDBL_MAX_EXP * log(2)
  63        hence exp(x) > 2^LDBL_MAX_EXP, overflows to Infinity.  */
  64     return HUGE_VALL;
  65
  66   if (x <= (long double) (LDBL_MIN_EXP - 1 - LDBL_MANT_DIG) * LOG2_PLUS_EPSILON)
  67     /* x < (LDBL_MIN_EXP - 1 - LDBL_MANT_DIG) * log(2)
  68        hence exp(x) < 2^(LDBL_MIN_EXP-1-LDBL_MANT_DIG),
  69        underflows to zero.  */
  70     return 0.0L;
  71
  72   /* Decompose x into
  73        x = n * log(2) + m * log(2)/256 + y
  74      where
  75        n is an integer,
  76        m is an integer, -128 <= m <= 128,
  77        y is a number, |y| <= log(2)/512 + epsilon = 0.00135...
  78      Then
  79        exp(x) = 2^n * exp(m * log(2)/256) * exp(y)
  80      The first factor is an ldexpl() call.
  81      The second factor is a table lookup.
  82      The third factor is computed
  83      - either as sinh(y) + cosh(y)
  84        where sinh(y) is computed through the power series:
  85          sinh(y) = y + y^3/3! + y^5/5! + ...
  86        and cosh(y) is computed as hypot(1, sinh(y)),
  87      - or as exp(2*z) = (1 + tanh(z)) / (1 - tanh(z))
  88        where z = y/2
  89        and tanh(z) is computed through its power series:
  90          tanh(z) = z
  91                    - 1/3 * z^3
  92                    + 2/15 * z^5
  93                    - 17/315 * z^7
  94                    + 62/2835 * z^9
  95                    - 1382/155925 * z^11
  96                    + 21844/6081075 * z^13
  97                    - 929569/638512875 * z^15
  98                    + ...
  99        Since |z| <= log(2)/1024 < 0.0007, the relative error of the z^13 term
 100        is < 0.0007^12 < 2^-120 <= 2^-LDBL_MANT_DIG, therefore we can truncate
 101        the series after the z^11 term.
 102
 103      Given the usual bounds LDBL_MAX_EXP <= 16384, LDBL_MIN_EXP >= -16381,
 104      LDBL_MANT_DIG <= 120, we can estimate x:  -11440 <= x <= 11357.
 105      This means, when dividing x by log(2), where we want x mod log(2)
 106      to be precise to LDBL_MANT_DIG bits, we have to use an approximation
 107      to log(2) that has 14+LDBL_MANT_DIG bits.  */
 108
 109   {
 110     long double nm = roundl (x * LOG2_BY_256_INVERSE); /* = 256 * n + m */
 111     /* n has at most 15 bits, nm therefore has at most 23 bits, therefore
 112        n * LOG2_HI_PART is computed exactly, and n * LOG2_LO_PART is computed
 113        with an absolute error < 2^15 * 2e-10 * 2^-LDBL_MANT_DIG.  */
 114     long double y_tmp = x - nm * LOG2_BY_256_HI_PART;
 115     long double y = y_tmp - nm * LOG2_BY_256_LO_PART;
 116     long double z = 0.5L * y;
 117
 118 /* Coefficients of the power series for tanh(z).  */
 119 #define TANH_COEFF_1   1.0L
 120 #define TANH_COEFF_3  -0.333333333333333333333333333333333333334L
 121 #define TANH_COEFF_5   0.133333333333333333333333333333333333334L
 122 #define TANH_COEFF_7  -0.053968253968253968253968253968253968254L
 123 #define TANH_COEFF_9   0.0218694885361552028218694885361552028218L
 124 #define TANH_COEFF_11 -0.00886323552990219656886323552990219656886L
 125 #define TANH_COEFF_13  0.00359212803657248101692546136990581435026L
 126 #define TANH_COEFF_15 -0.00145583438705131826824948518070211191904L
 127
 128     long double z2 = z * z;
 129     long double tanh_z =
 130       (((((TANH_COEFF_11
 131            * z2 + TANH_COEFF_9)
 132           * z2 + TANH_COEFF_7)
 133          * z2 + TANH_COEFF_5)
 134         * z2 + TANH_COEFF_3)
 135        * z2 + TANH_COEFF_1)
 136       * z;
 137
 138     long double exp_y = (1.0L + tanh_z) / (1.0L - tanh_z);
 139
 140     int n = (int) roundl (nm * (1.0L / 256.0L));
 141     int m = (int) nm - 256 * n;
 142
 143     /* expl_table[i] = exp((i - 128) * log(2)/256).
 144        Computed in GNU clisp through
 145          (setf (long-float-digits) 128)
 146          (setq a 0L0)
 147          (setf (long-float-digits) 256)
 148          (dotimes (i 257)
 149            (format t "        ~D,~%"
 150                    (float (exp (* (/ (- i 128) 256) (log 2L0))) a)))  */
 151     static const long double expl_table[257] =
 152       {
 153         0.707106781186547524400844362104849039284L,
 154         0.709023942160207598920563322257676190836L,
 155         0.710946301084582779904674297352120049962L,
 156         0.71287387205274715340350157671438300618L,
 157         0.714806669195985005617532889137569953044L,
 158         0.71674470668389442125974978427737336719L,
 159         0.71868799872449116280161304224785251353L,
 160         0.720636559564312831364255957304947586072L,
 161         0.72259040348852331001850312073583545284L,
 162         0.724549544821017490259402705487111270714L,
 163         0.726513997924526282423036245842287293786L,
 164         0.728483777200721910815451524818606761737L,
 165         0.730458897090323494325651445155310766577L,
 166         0.732439372073202913296664682112279175616L,
 167         0.734425216668490963430822513132890712652L,
 168         0.736416445434683797507470506133110286942L,
 169         0.738413072969749655693453740187024961962L,
 170         0.740415113911235885228829945155951253966L,
 171         0.742422582936376250272386395864403155277L,
 172         0.744435494762198532693663597314273242753L,
 173         0.746453864145632424600321765743336770838L,
 174         0.748477705883617713391824861712720862423L,
 175         0.750507034813212760132561481529764324813L,
 176         0.752541865811703272039672277899716132493L,
 177         0.75458221379671136988300977551659676571L,
 178         0.756628093726304951096818488157633113612L,
 179         0.75867952059910734940489114658718937343L,
 180         0.760736509454407291763130627098242426467L,
 181         0.762799075372269153425626844758470477304L,
 182         0.76486723347364351194254345936342587308L,
 183         0.766940998920478000900300751753859329456L,
 184         0.769020386915828464216738479594307884331L,
 185         0.771105412703970411806145931045367420652L,
 186         0.773196091570510777431255778146135325272L,
 187         0.77529243884249997956151370535341912283L,
 188         0.777394469888544286059157168801667390437L,
 189         0.779502200118918483516864044737428940745L,
 190         0.781615644985678852072965367573877941354L,
 191         0.783734819982776446532455855478222575498L,
 192         0.78585974064617068462428149076570281356L,
 193         0.787990422553943243227635080090952504452L,
 194         0.790126881326412263402248482007960521995L,
 195         0.79226913262624686505993407346567890838L,
 196         0.794417192158581972116898048814333564685L,
 197         0.796571075671133448968624321559534367934L,
 198         0.798730798954313549131410147104316569576L,
 199         0.800896377841346676896923120795476813684L,
 200         0.803067828208385462848443946517563571584L,
 201         0.805245165974627154089760333678700291728L,
 202         0.807428407102430320039984581575729114268L,
 203         0.809617567597431874649880866726368203972L,
 204         0.81181266350866441589760797777344082227L,
 205         0.814013710928673883424109261007007338614L,
 206         0.816220725993637535170713864466769240053L,
 207         0.818433724883482243883852017078007231025L,
 208         0.82065272382200311435413206848451310067L,
 209         0.822877739076982422259378362362911222833L,
 210         0.825108786960308875483586738272485101678L,
 211         0.827345883828097198786118571797909120834L,
 212         0.829589046080808042697824787210781231927L,
 213         0.831838290163368217523168228488195222638L,
 214         0.834093632565291253329796170708536192903L,
 215         0.836355089820798286809404612069230711295L,
 216         0.83862267850893927589613232455870870518L,
 217         0.84089641525371454303112547623321489504L,
 218         0.84317631672419664796432298771385230143L,
 219         0.84546239963465259098692866759361830709L,
 220         0.84775468074466634749045860363936420312L,
 221         0.850053176859261734750681286748751167545L,
 222         0.852357904829025611837203530384718316326L,
 223         0.854668881550231413551897437515331498025L,
 224         0.856986123964963019301812477839166009452L,
 225         0.859309649061238957814672188228156252257L,
 226         0.861639473873136948607517116872358729753L,
 227         0.863975615480918781121524414614366207052L,
 228         0.866318091011155532438509953514163469652L,
 229         0.868666917636853124497101040936083380124L,
 230         0.871022112577578221729056715595464682243L,
 231         0.873383693099584470038708278290226842228L,
 232         0.875751676515939078050995142767930296012L,
 233         0.878126080186649741556080309687656610647L,
 234         0.880506921518791912081045787323636256171L,
 235         0.882894217966636410521691124969260937028L,
 236         0.885287987031777386769987907431242017412L,
 237         0.88768824626326062627527960009966160388L,
 238         0.89009501325771220447985955243623523504L,
 239         0.892508305659467490072110281986409916153L,
 240         0.8949281411607004980029443898876582985L,
 241         0.897354537501553593213851621063890907178L,
 242         0.899787512470267546027427696662514569756L,
 243         0.902227083903311940153838631655504844215L,
 244         0.904673269685515934269259325789226871994L,
 245         0.907126087750199378124917300181170171233L,
 246         0.909585556079304284147971563828178746372L,
 247         0.91205169270352665549806275316460097744L,
 248         0.914524515702448671545983912696158354092L,
 249         0.91700404320467123174354159479414442804L,
 250         0.919490293387946858856304371174663918816L,
 251         0.921983284479312962533570386670938449637L,
 252         0.92448303475522546419252726694739603678L,
 253         0.92698956254169278419622653516884831976L,
 254         0.929502886214410192307650717745572682403L,
 255         0.932023024198894522404814545597236289343L,
 256         0.934549994970619252444512104439799143264L,
 257         0.93708381705514995066499947497722326722L,
 258         0.93962450902828008902058735120448448827L,
 259         0.942172089516167224843810351983745154882L,
 260         0.944726577195469551733539267378681531548L,
 261         0.947287990793482820670109326713462307376L,
 262         0.949856349088277632361251759806996099924L,
 263         0.952431670908837101825337466217860725517L,
 264         0.955013975135194896221170529572799135168L,
 265         0.957603280698573646936305635147915443924L,
 266         0.960199606581523736948607188887070611744L,
 267         0.962802971818062464478519115091191368377L,
 268         0.965413395493813583952272948264534783197L,
 269         0.968030896746147225299027952283345762418L,
 270         0.970655494764320192607710617437589705184L,
 271         0.973287208789616643172102023321302921373L,
 272         0.97592605811548914795551023340047499377L,
 273         0.978572062087700134509161125813435745597L,
 274         0.981225240104463713381244885057070325016L,
 275         0.983885611616587889056366801238014683926L,
 276         0.98655319612761715646797006813220671315L,
 277         0.989228013193975484129124959065583667775L,
 278         0.99191008242510968492991311132615581644L,
 279         0.994599423483633175652477686222166314457L,
 280         0.997296056085470126257659913847922601123L,
 281         1.0L,
 282         1.00271127505020248543074558845036204047L,
 283         1.0054299011128028213513839559347998147L,
 284         1.008155898118417515783094890817201039276L,
 285         1.01088928605170046002040979056186052439L,
 286         1.013630084951489438840258929063939929597L,
 287         1.01637831491095303794049311378629406276L,
 288         1.0191339960777379496848780958207928794L,
 289         1.02189714865411667823448013478329943978L,
 290         1.02466779289713564514828907627081492763L,
 291         1.0274459491187636965388611939222137815L,
 292         1.030231637686041012871707902453904567093L,
 293         1.033024879021228422500108283970460918086L,
 294         1.035825693601957120029983209018081371844L,
 295         1.03863410196137879061243669795463973258L,
 296         1.04145012468831614126454607901189312648L,
 297         1.044273782427413840321966478739929008784L,
 298         1.04710509587928986612990725022711224056L,
 299         1.04994408580068726608203812651590790906L,
 300         1.05279077300462632711989120298074630319L,
 301         1.05564517836055715880834132515293865216L,
 302         1.058507322794512690105772109683716645074L,
 303         1.061377227289262080950567678003883726294L,
 304         1.06425491288446454978861125700158022068L,
 305         1.06714040067682361816952112099280916261L,
 306         1.0700337118202417735424119367576235685L,
 307         1.072934867525975551385035450873827585343L,
 308         1.075843889062791037803228648476057074063L,
 309         1.07876079775711979374068003743848295849L,
 310         1.081685614993215201942115594422531125643L,
 311         1.08461836221330923781610517190661434161L,
 312         1.087559060917769665346797830944039707867L,
 313         1.09050773266525765920701065576070797899L,
 314         1.09346439907288585422822014625044716208L,
 315         1.096429081816376823386138295859248481766L,
 316         1.09940180263022198546369696823882990404L,
 317         1.10238258330784094355641420942564685751L,
 318         1.10537144570174125558827469625695031104L,
 319         1.108368411723678638009423649426619850137L,
 320         1.111373503344817603850149254228916637444L,
 321         1.1143867425958925363088129569196030678L,
 322         1.11740815156736919905457996308578026665L,
 323         1.12043775240960668442900387986631301277L,
 324         1.123475567333019800733729739775321431954L,
 325         1.12652161860824189979479864378703477763L,
 326         1.129575928566288145997264988840249825907L,
 327         1.13263851959871922798707372367762308438L,
 328         1.13570941415780551424039033067611701343L,
 329         1.13878863475669165370383028384151125472L,
 330         1.14187620396956162271229760828788093894L,
 331         1.14497214443180421939441388822291589579L,
 332         1.14807647884017900677879966269734268003L,
 333         1.15118922995298270581775963520198253612L,
 334         1.154310420590216039548221528724806960684L,
 335         1.157440073633751029613085766293796821106L,
 336         1.16057821202749874636945947257609098625L,
 337         1.16372485877757751381357359909218531234L,
 338         1.166880036952481570555516298414089287834L,
 339         1.170043769683250188080259035792738573L,
 340         1.17321608016363724753480435451324538889L,
 341         1.176396991650281276284645728483848641054L,
 342         1.17958652746287594548610056676944051898L,
 343         1.182784710984341029924457204693850757966L,
 344         1.18599156566099383137126564953421556374L,
 345         1.18920711500272106671749997056047591529L,
 346         1.19243138258315122214272755814543101148L,
 347         1.195664392039827374583837049865451975705L,
 348         1.19890616707438048177030255797630020695L,
 349         1.202156731452703142096396957497765876003L,
 350         1.205416109005123825604211432558411335666L,
 351         1.208684323626581577354792255889216998484L,
 352         1.21196139927680119446816891773249304545L,
 353         1.215247359980468878116520251338798457624L,
 354         1.218542229827408361758207148117394510724L,
 355         1.221846032972757516903891841911570785836L,
 356         1.225158793637145437709464594384845353707L,
 357         1.22848053610687000569400895779278184036L,
 358         1.2318112847340759358845566532127948166L,
 359         1.235151063936933305692912507415415760294L,
 360         1.238499898199816567833368865859612431545L,
 361         1.24185781207348404859367746872659560551L,
 362         1.24522483017525793277520496748615267417L,
 363         1.24860097718920473662176609730249554519L,
 364         1.25198627786631627006020603178920359732L,
 365         1.255380757024691089579390657442301194595L,
 366         1.25878443954971644307786044181516261876L,
 367         1.26219735039425070801401025851841645967L,
 368         1.265619514578806324196273999873453036296L,
 369         1.26905095719173322255441908103233800472L,
 370         1.27249170338940275123669204418460217677L,
 371         1.27594177839639210038120243475928938891L,
 372         1.27940120750566922691358797002785254596L,
 373         1.28287001607877828072666978102151405111L,
 374         1.286348229546025533601482208069738348355L,
 375         1.28983587340666581223274729549155218968L,
 376         1.293332973229089436725559789048704304684L,
 377         1.296839554651009665933754117792451159835L,
 378         1.30035564337965065101414056707091779129L,
 379         1.30388126519193589857452364895199736833L,
 380         1.30741644593467724479715157747196172848L,
 381         1.310961211524764341922991786330755849366L,
 382         1.314515587949354658485983613383997794965L,
 383         1.318079601266063994690185647066116617664L,
 384         1.32165327760315751432651181233060922616L,
 385         1.32523664315974129462953709549872167411L,
 386         1.32882972420595439547865089632866510792L,
 387         1.33243254708316144935164337949073577407L,
 388         1.33604513820414577344262790437186975929L,
 389         1.33966752405330300536003066972435257602L,
 390         1.34329973118683526382421714618163087542L,
 391         1.346941786232945835788173713229537282075L,
 392         1.35059371589203439140852219606013396004L,
 393         1.35425554693689272829801474014070280434L,
 394         1.357927306212901046494536695671766697446L,
 395         1.36160902063822475558553593883194147464L,
 396         1.36530071720401181543069836033754285543L,
 397         1.36900242297459061192960113298219283217L,
 398         1.37271416508766836928499785714471721579L,
 399         1.37643597075453010021632280551868696026L,
 400         1.380167867260238095581945274358283464697L,
 401         1.383909881963831954872659527265192818L,
 402         1.387662042298529159042861017950775988896L,
 403         1.39142437577192618714983552956624344668L,
 404         1.395196909966200178275574599249220994716L,
 405         1.398979672538311140209528136715194969206L,
 406         1.40277269122020470637471352433337881711L,
 407         1.40657599381901544248361973255451684411L,
 408         1.410389608217270704414375128268675481145L,
 409         1.41421356237309504880168872420969807857L
 410       };
 411
 412     return ldexpl (expl_table[128 + m] * exp_y, n);
 413   }
 414 }
 415
 416 #endif