lib/logl.c

   1 /*                                                      logll.c
   2  *
   3  * Natural logarithm for 128-bit long double precision.
   4  *
   5  *
   6  *
   7  * SYNOPSIS:
   8  *
   9  * long double x, y, logl();
  10  *
  11  * y = logl( x );
  12  *
  13  *
  14  *
  15  * DESCRIPTION:
  16  *
  17  * Returns the base e (2.718...) logarithm of x.
  18  *
  19  * The argument is separated into its exponent and fractional
  20  * parts.  Use of a lookup table increases the speed of the routine.
  21  * The program uses logarithms tabulated at intervals of 1/128 to
  22  * cover the domain from approximately 0.7 to 1.4.
  23  *
  24  * On the interval [-1/128, +1/128] the logarithm of 1+x is approximated by
  25  *     log(1+x) = x - 0.5 x^2 + x^3 P(x) .
  26  *
  27  *
  28  *
  29  * ACCURACY:
  30  *
  31  *                      Relative error:
  32  * arithmetic   domain     # trials      peak         rms
  33  *    IEEE   0.875, 1.125   100000      1.2e-34    4.1e-35
  34  *    IEEE   0.125, 8       100000      1.2e-34    4.1e-35
  35  *
  36  *
  37  * WARNING:
  38  *
  39  * This program uses integer operations on bit fields of floating-point
  40  * numbers.  It does not work with data structures other than the
  41  * structure assumed.
  42  *
  43  */
  44
  45 #include <math.h>
  46
  47 #include "mathl.h"
  48
  49 /* Copyright 2001 by Stephen L. Moshier <moshier@na-net.ornl.gov> */
  50
  51 /* log(1+x) = x - .5 x^2 + x^3 l(x)
  52    -.0078125 <= x <= +.0078125
  53    peak relative error 1.2e-37 */
  54 static const long double
  55 l3 =   3.333333333333333333333333333333336096926E-1L,
  56 l4 =  -2.499999999999999999999999999486853077002E-1L,
  57 l5 =   1.999999999999999999999999998515277861905E-1L,
  58 l6 =  -1.666666666666666666666798448356171665678E-1L,
  59 l7 =   1.428571428571428571428808945895490721564E-1L,
  60 l8 =  -1.249999999999999987884655626377588149000E-1L,
  61 l9 =   1.111111111111111093947834982832456459186E-1L,
  62 l10 = -1.000000000000532974938900317952530453248E-1L,
  63 l11 =  9.090909090915566247008015301349979892689E-2L,
  64 l12 = -8.333333211818065121250921925397567745734E-2L,
  65 l13 =  7.692307559897661630807048686258659316091E-2L,
  66 l14 = -7.144242754190814657241902218399056829264E-2L,
  67 l15 =  6.668057591071739754844678883223432347481E-2L;
  68
  69 /* Lookup table of ln(t) - (t-1)
  70     t = 0.5 + (k+26)/128)
  71     k = 0, ..., 91   */
  72 static const long double logtbl[92] = {
  73 -5.5345593589352099112142921677820359632418E-2L,
  74 -5.2108257402767124761784665198737642086148E-2L,
  75 -4.8991686870576856279407775480686721935120E-2L,
  76 -4.5993270766361228596215288742353061431071E-2L,
  77 -4.3110481649613269682442058976885699556950E-2L,
  78 -4.0340872319076331310838085093194799765520E-2L,
  79 -3.7682072451780927439219005993827431503510E-2L,
  80 -3.5131785416234343803903228503274262719586E-2L,
  81 -3.2687785249045246292687241862699949178831E-2L,
  82 -3.0347913785027239068190798397055267411813E-2L,
  83 -2.8110077931525797884641940838507561326298E-2L,
  84 -2.5972247078357715036426583294246819637618E-2L,
  85 -2.3932450635346084858612873953407168217307E-2L,
  86 -2.1988775689981395152022535153795155900240E-2L,
  87 -2.0139364778244501615441044267387667496733E-2L,
  88 -1.8382413762093794819267536615342902718324E-2L,
  89 -1.6716169807550022358923589720001638093023E-2L,
  90 -1.5138929457710992616226033183958974965355E-2L,
  91 -1.3649036795397472900424896523305726435029E-2L,
  92 -1.2244881690473465543308397998034325468152E-2L,
  93 -1.0924898127200937840689817557742469105693E-2L,
  94 -9.6875626072830301572839422532631079809328E-3L,
  95 -8.5313926245226231463436209313499745894157E-3L,
  96 -7.4549452072765973384933565912143044991706E-3L,
  97 -6.4568155251217050991200599386801665681310E-3L,
  98 -5.5356355563671005131126851708522185605193E-3L,
  99 -4.6900728132525199028885749289712348829878E-3L,
 100 -3.9188291218610470766469347968659624282519E-3L,
 101 -3.2206394539524058873423550293617843896540E-3L,
 102 -2.5942708080877805657374888909297113032132E-3L,
 103 -2.0385211375711716729239156839929281289086E-3L,
 104 -1.5522183228760777967376942769773768850872E-3L,
 105 -1.1342191863606077520036253234446621373191E-3L,
 106 -7.8340854719967065861624024730268350459991E-4L,
 107 -4.9869831458030115699628274852562992756174E-4L,
 108 -2.7902661731604211834685052867305795169688E-4L,
 109 -1.2335696813916860754951146082826952093496E-4L,
 110 -3.0677461025892873184042490943581654591817E-5L,
 111 #define ZERO logtbl[38]
 112  0.0000000000000000000000000000000000000000E0L,
 113 -3.0359557945051052537099938863236321874198E-5L,
 114 -1.2081346403474584914595395755316412213151E-4L,
 115 -2.7044071846562177120083903771008342059094E-4L,
 116 -4.7834133324631162897179240322783590830326E-4L,
 117 -7.4363569786340080624467487620270965403695E-4L,
 118 -1.0654639687057968333207323853366578860679E-3L,
 119 -1.4429854811877171341298062134712230604279E-3L,
 120 -1.8753781835651574193938679595797367137975E-3L,
 121 -2.3618380914922506054347222273705859653658E-3L,
 122 -2.9015787624124743013946600163375853631299E-3L,
 123 -3.4938307889254087318399313316921940859043E-3L,
 124 -4.1378413103128673800485306215154712148146E-3L,
 125 -4.8328735414488877044289435125365629849599E-3L,
 126 -5.5782063183564351739381962360253116934243E-3L,
 127 -6.3731336597098858051938306767880719015261E-3L,
 128 -7.2169643436165454612058905294782949315193E-3L,
 129 -8.1090214990427641365934846191367315083867E-3L,
 130 -9.0486422112807274112838713105168375482480E-3L,
 131 -1.0035177140880864314674126398350812606841E-2L,
 132 -1.1067990155502102718064936259435676477423E-2L,
 133 -1.2146457974158024928196575103115488672416E-2L,
 134 -1.3269969823361415906628825374158424754308E-2L,
 135 -1.4437927104692837124388550722759686270765E-2L,
 136 -1.5649743073340777659901053944852735064621E-2L,
 137 -1.6904842527181702880599758489058031645317E-2L,
 138 -1.8202661505988007336096407340750378994209E-2L,
 139 -1.9542647000370545390701192438691126552961E-2L,
 140 -2.0924256670080119637427928803038530924742E-2L,
 141 -2.2346958571309108496179613803760727786257E-2L,
 142 -2.3810230892650362330447187267648486279460E-2L,
 143 -2.5313561699385640380910474255652501521033E-2L,
 144 -2.6856448685790244233704909690165496625399E-2L,
 145 -2.8438398935154170008519274953860128449036E-2L,
 146 -3.0058928687233090922411781058956589863039E-2L,
 147 -3.1717563112854831855692484086486099896614E-2L,
 148 -3.3413836095418743219397234253475252001090E-2L,
 149 -3.5147290019036555862676702093393332533702E-2L,
 150 -3.6917475563073933027920505457688955423688E-2L,
 151 -3.8723951502862058660874073462456610731178E-2L,
 152 -4.0566284516358241168330505467000838017425E-2L,
 153 -4.2444048996543693813649967076598766917965E-2L,
 154 -4.4356826869355401653098777649745233339196E-2L,
 155 -4.6304207416957323121106944474331029996141E-2L,
 156 -4.8285787106164123613318093945035804818364E-2L,
 157 -5.0301169421838218987124461766244507342648E-2L,
 158 -5.2349964705088137924875459464622098310997E-2L,
 159 -5.4431789996103111613753440311680967840214E-2L,
 160 -5.6546268881465384189752786409400404404794E-2L,
 161 -5.8693031345788023909329239565012647817664E-2L,
 162 -6.0871713627532018185577188079210189048340E-2L,
 163 -6.3081958078862169742820420185833800925568E-2L,
 164 -6.5323413029406789694910800219643791556918E-2L,
 165 -6.7595732653791419081537811574227049288168E-2L
 166 };
 167
 168 /* ln(2) = ln2a + ln2b with extended precision. */
 169 static const long double
 170   ln2a = 6.93145751953125e-1L,
 171   ln2b = 1.4286068203094172321214581765680755001344E-6L;
 172
 173 long double
 174 logl(long double x)
 175 {
 176   long double z, y, w, u, t;
 177   unsigned int m;
 178   int k, e;
 179
 180   /* Check for IEEE special cases.  */
 181
 182   /* log(0) = -infinity. */
 183   if (x == 0.0L)
 184     return -0.5L / 0.0L;
 185
 186   /* log ( x < 0 ) = NaN */
 187   if (x < 0.0L)
 188     return (x - x) / (x - x);
 189
 190   /* log (infinity or NaN) */
 191   if (x + x == x || x != x)
 192     return x + x;
 193
 194   /* Extract exponent and reduce domain to 0.703125 <= u < 1.40625  */
 195   x = frexpl(x, &e);
 196   if (x < 0.703125L)
 197     {
 198       x += x;
 199       e--;
 200     }
 201
 202   /* On this interval the table is not used due to cancellation error.  */
 203   if ((x <= 1.0078125L) && (x >= 0.9921875L))
 204     {
 205       k = 64;
 206       t = 1.0L;
 207       z = x - 1.0L;
 208     }
 209   else
 210     {
 211       k = floorl((x - 0.5L) * 128.0L);
 212       t = 0.5L + k / 128.0L;
 213       z = (x - t) / t;
 214     }
 215
 216   /* Series expansion of log(1+z).  */
 217   w = z * z;
 218   y = ((((((((((((l15 * z
 219                   + l14) * z
 220                  + l13) * z
 221                 + l12) * z
 222                + l11) * z
 223               + l10) * z
 224              + l9) * z
 225             + l8) * z
 226            + l7) * z
 227           + l6) * z
 228          + l5) * z
 229         + l4) * z
 230        + l3) * z * w;
 231   y -= 0.5 * w;
 232   y += e * ln2b;  /* Base 2 exponent offset times ln(2).  */
 233   y += z;
 234   y += logtbl[k-26]; /* log(t) - (t-1) */
 235   y += (t - 1.0L);
 236   y += e * ln2a;
 237   return y;
 238 }